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容斥問(wèn)題的本質(zhì)是去除重復(fù),而解題方法是公式法和圖示法。首先優(yōu)先使用公式法,兩集合類(lèi)容斥問(wèn)題的公式為:總情況數(shù)-兩個(gè)條件都不滿(mǎn)足的個(gè)數(shù)=滿(mǎn)足條件1的個(gè)數(shù)+滿(mǎn)足條件2的個(gè)數(shù)-兩個(gè)條件都滿(mǎn)足的個(gè)數(shù),能夠直接套用公式的題目?jī)?yōu)先套用公式。當(dāng)題目中出現(xiàn)“只”滿(mǎn)足一個(gè)條件這樣的字眼,由于公式當(dāng)中無(wú)法直接求出,可使用圖示法進(jìn)行求解。
那么下面我們一起看幾個(gè)例題,應(yīng)用一下兩集合類(lèi)容斥問(wèn)題的兩種解題方法:
例題1:某單位計(jì)劃從全部80名員工中挑選專(zhuān)項(xiàng)工作組成員,要求該組成員須同時(shí)有基層經(jīng)歷和計(jì)算機(jī)等級(jí)證書(shū)。已知,單位內(nèi)有40人具有基層經(jīng)歷,有46人有計(jì)算機(jī)等級(jí)證書(shū),既沒(méi)有基層經(jīng)歷又未獲得計(jì)算機(jī)等級(jí)證書(shū)的有10人。那么能夠進(jìn)入工作組的員工有( )人。
A.16
B.40
C.46
D.54
答案:A
解析:第一步,本題考查容斥問(wèn)題。
第二步,能夠進(jìn)入工作組的員工即為兩個(gè)條件都滿(mǎn)足的人,設(shè)能夠進(jìn)入工作組的員工有x人,根據(jù)兩集合容斥公式:總數(shù)-都不=A+B-AB,代入數(shù)據(jù)可得80-10=40+46-x,解得x=16人。因此,選擇A選項(xiàng)。
例題2:某年級(jí)有學(xué)生100名,某次測(cè)驗(yàn)中數(shù)學(xué)滿(mǎn)分的有62人,英語(yǔ)滿(mǎn)分的有34人,兩門(mén)課程都得滿(mǎn)分的有11人,那么兩門(mén)課程都沒(méi)有得滿(mǎn)分的有( )人。
A.26
B.15
C.96
D.89
答案:B
解析:第一步,本題考查容斥問(wèn)題。
第二步,設(shè)兩門(mén)課程都沒(méi)有得滿(mǎn)分的有x人,根據(jù)二者容斥公式可得:62+34-11+x=100,解得x=15,即兩門(mén)課程都沒(méi)有得滿(mǎn)分的有15人。因此,選擇B選項(xiàng)
例題3:學(xué)校有300個(gè)學(xué)生選擇參加地理興趣小組,生物興趣小組或者兩個(gè)小組同時(shí)參加。如果80%學(xué)生參加地理興趣小組,50%學(xué)生參加生物興趣小組。問(wèn)同時(shí)參加地理和生物興趣小組的學(xué)生人數(shù)是多少?
A.240
B.150
C.90
D.60
答案:C
解析:第一步,本題考查容斥問(wèn)題,屬于二集合容斥類(lèi),用公式法解題。
第二步,共兩個(gè)興趣小組,其中80%的學(xué)生參加地理興趣小組、50%的學(xué)生參加生物興趣小組,根據(jù)兩集合容斥原理公式:滿(mǎn)足條件1的個(gè)數(shù)+滿(mǎn)足條件2的個(gè)數(shù)-兩者都滿(mǎn)足的個(gè)數(shù)=總個(gè)數(shù)-兩者都不滿(mǎn)足的個(gè)數(shù),設(shè)同時(shí)參加兩個(gè)興趣小組的學(xué)生占比為x,則有80%+50%-x=100%-0,解得x=30%,那么同時(shí)參加兩個(gè)興趣小組的共有300×30%=90(人)。因此,選擇C選項(xiàng)。
例題4:某科學(xué)家做了一項(xiàng)實(shí)驗(yàn),通過(guò)向若干只狒狒提供不限量的香蕉和香腸以研究其食性。結(jié)果表明,90%的狒狒有進(jìn)食,其中吃香蕉的狒狒是吃香腸的狒狒數(shù)量的3倍,而兩種食物都吃的狒狒是只吃香腸的狒狒數(shù)量的2/3,則未進(jìn)食的狒狒是只吃香蕉的狒狒數(shù)量的:
A.1/5
B.3/10
C.2/13
D.4/15
答案:C
解析:第一步,本題考查容斥問(wèn)題。
第二步,如下圖:
設(shè)兩種食物都吃的狒狒有2x只,則只吃香腸的有3x只,根據(jù)吃香蕉是吃香腸的3倍,可得吃香蕉的有(2x+3x)×3=15x只,進(jìn)食的狒狒共15x+3x=18x只,占總數(shù)的90%,共計(jì)18x÷90%=20x只狒狒,未進(jìn)食的有2x只,是只吃香蕉的2/13。
因此,選擇C選項(xiàng)。
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